Fatoração – Aplicações-4

(Reprodução de parte do livro Matemática em Detalhes. Proibida a reprodução total ou parcial)

Neste artigo vamos aprender como utilizar a fatoração a nosso favor quando se trata de efetuar cálculo numéricos.

Evidentemente não estamos falando de calcular alguma soma simples, mas daquelas que quando as enfrentamos a primeira reação que temos é algo do tipo: “Minha nossa, isso vai dar trabalho!”.

Por exemplo, se nos deparamos com expressões numéricas do tipo:

$$ 73^2-2.73.71+71^2 $$

ou

$$ 735^2-734^2 $$

Com a ajuda da fatoração veremos que podemos imediatamente concluir que o valor da primeira expressão numérica é 4 e o da segunda 1.469.

O que vamos aprender aqui não aparece apenas em questões de exames de matemática, mas também no meio de resolução de uma questão de física.

Vale dizer, é uma habilidade que poderá vir a ser aplicada em outras matérias com ganho de tempo significativo.

Exemplo-1: Calcular

$$ 73^2-2.73.71+71^2 $$

Resolução:

A expressão numérica acima lembra o desenvolvimento do quadrado de uma diferença.

Com efeito

$$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $$

Observe que na expressão numérica dada podemos estabelecer a seguinte relação:

$$ a=73 \ \ e \ \ b=71 $$

Logo:

$$ 73^2-2.73.71+71^2=(73-71)^2=2^2=4 $$

Se efetuássemos as contas teríamos mais trabalho sem dúvidas:

$$ 73^2-2.73.71+71^2=(73-71)^2=2^2=5.5329-10.366+5.041=10.370-10.366=4 $$

Perderíamos um tempo precioso, além de aumentar a chance de errar em conta.

Se você acha que fiz estas contas todas da última expressão na calculadora, está absolutamente certo!

Não iria me arriscar numa aventura dessas de fazer as contas “na mão”!

A ideia foi apenas demonstrar o quão trabalhosa seria calcular o valor numérico desta expressão sem o uso da fatoração.

Exemplo-2: Calcular

$$ 735^2-734^2 $$

Resolução:

A expressão numérica acima é uma diferença de dois quadrados cuja fatoração é o produto da soma pela diferença.

Vejamos.

$$ a^2-b^2=(a+b)(a-b) $$

Observe que na expressão numérica dada podemos estabelecer a seguinte relação:

$$ a=735 \ \ e \ \ b=734 $$

Logo:

$$ 735^2-734^2=(735+734)(735-734)=1.469×1=1.469 $$

Se fizéssemos a conta:

$$ 735^2-734^2=540.225-538.756=1.469 $$

Vemos novamente a economia de tempo que teríamos utilizando-se a fatoração.

Existem muitos outros tipos desses exercícios nos quais a utilização da fatoração facilita enormemente nosso dia a dia, não só na matemática como em outras matérias como a física.

Não é raro depararmos com questões que poderemos aplicar isso que vimos hoje.

Abaixo segue uma pequena lista para você exercitar suas habilidades em fatoração.

Caso tenha alguma dificuldade ou queira rever fatoração deixamos os links das três partes em que as aulas foram divididas:

– Fatoração-parte 1 (https://youtu.be/rVINrPVsWow);

– Fatoração-parte-2 (https://youtu.be/tvrnbigqwqI);

– Fatoração-parte 3 (https://youtu.be/XUx3PHLdpqo).

Exercícios: Calcular os valores das expressões numéricas a seguir:

$$ \begin{align} (a) & \ 35^2-25^2 \hspace{100cm} \\ (b) & \ 15^2+2.15.25+25^2 \hspace{100cm} \\ (c) & \ 35^2+15^2+1050 \hspace{100cm} \\ (d) & \ 18^3+3.18.12.(18+12)+12^3 \hspace{100cm} \\ (e) & \ 18^3-3.18.17-17^3 \hspace{100cm} \\ (f) & \ 11^3+4^3-15^3 \end{align} $$

Resolução: Clique nos link’s abaixo.

Exercício (a)

Exercício (b)

Exercícios (c) e (d)

Exercício (e)