Fatoração – Aplicações-1
(Reprodução de parte do livro Matemática em Detalhes. Proibida a reprodução total ou parcial)
Quando estudamos fatoração observamos o papel importante deste assunto em diversos tópicos da matemática (se você perdeu esta aula, clique aqui).
Ressaltamos ainda que não bastava simplesmente memorizar os diversos tipos de fatoração apresentados, mas antes disso, e principalmente, era necessário entender o máximo possível sua utilidade e isso só é adquirido com mais e mais exercícios.
Pois bem, a ideia deste post é dar uma contribuição para isso.
Em particular estudaremos a fatoração da expressão algébrica a seguir.
$$ a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \ … (*) $$Para quem não viu e/ou não sabe do que estamos falando veja o vídeo de fatoração no YouTube em que tratamos dessa e de outras fatorações (clique aqui).
Esta não é exatamente uma fatoração comum, mas tem uma utilidade muito grande sabendo utilizá-la.
É especialmente útil quando $$ (a + b + c)=0 $$Observe que neste caso em particular, a igualdade (*) assume a seguinte forma:
$$ a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]=0 $$Ou seja,
$$ a^3+b^3+c^3=3abc $$Então, no caso em que a soma de três números é zero, podemos sempre afirmar que a soma dos cubos desses mesmos três números é o triplo de seu produto.
Mas muitos podem estar se perguntando: e daí?
Vejamos alguns exemplos interessantes.
Exemplo-1: Dado o polinômio $$ x^3+px+q=0 $$ obtenha a soma dos cubos de suas raízes.Resolução:
Das relações de Girard sabemos que se \(\alpha, \ \beta \ e \ \gamma \) são as raízes do polinômio dado, então podemos escrever que: $$ \begin{cases} \alpha + \beta+ \gamma=0 \ \ …(I) \\ \alpha. \beta + \beta. \gamma+ \gamma. \alpha=p \ \ …(II) \\ \alpha. \beta. \gamma=-q \ \ …(III) \end{cases} $$ Uma das saídas seria resolver este sistema de equações para as variáveis \(\alpha, \ \beta \ e \ \gamma \) o que não parece nada convidativo.Outra ideia, por exemplo, seria elevar ambos os lados da primeira equação ao cubo e ir manipulando as expressões algébricas que forem aparecendo, o que também parece que vai dar um bocado de trabalho.
Por outro lado, podemos pensar no óbvio: se \( \alpha , \beta \) e \( \gamma \) são raízes da equação então devem zerar as equações quando substituirmos a variável \( x \) pelas raízes: $$ \begin{cases} \alpha^3 + p.\alpha+ q=0 \\ \beta^3 + p.\beta+ q=0 \\ \gamma^3 + p.\gamma+ q=0 \end{cases} $$Somando estas 3 equações obtemos:
$$ (\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) + p.(\alpha+\beta+\gamma)+3q=0 …(IV) $$ Vimos das relações de Girard que (vide eq. (I)) \( \alpha + \beta+ \gamma=0 \) que substituído na equação (IV) acima resulta em: $$ (\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3) + p.(0)+3q=0 \implies \alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3=-3q $$Essa é uma solução melhor do que resolver o primeiro sistema que vimos compostas de equações decorrentes das relações de Girard.
Mas mesmo assim podemos resolver esse problema de forma ainda mais rápida se lembrarmos das considerações iniciais que fizemos no início desse tópico lembraremos que toda vez que a soma de três números é zero, podemos sempre afirmar que a soma dos cubos desses mesmos três números é o triplo de seu produto.
Ora, no nosso problema \( \alpha + \beta+ \gamma=0 \) (vide relações de Girard \((II) \) acima) o que nos permite afirmar que: $$ \alpha^3 + \beta^3+ \gamma^3=3 \alpha \beta \gamma=3(-q)=-3q $$ Observe que nosso problema aparentemente trabalhoso resume-se a uma simples conta de multiplicação: $$ -3q $$Um problema parecido com este exemplo foi questão de vestibular do ITA.
Neste caso representaria um ganho de tempo preciosíssimo num concurso em que cada minuto conta.
Se você ainda não se convenceu da utilidade dessa expressão algébrica quem sabe comece a pensar diferente após o exemplo seguinte.
Exemplo-2: Fatore a expressão $$ (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3. $$Resolução:
A princípio trata-se daquelas questões de fatoração “cabeludas”, de dar desânimo só de pensar em desenvolver cada um dos três cubos da diferença de dois números.
Contudo, observe que essa expressão pode ser escrita como:
$$ (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3 $$ Para quem não entendeu o que fizemos, note que o último termo, $$ -(a-c) $$ escrevemos como sendo $$ (c-a) $$ que elevado ao cubo resulta em $$ (c-a)^3 $$ Resumindo: $$ [-(a-c)]^3=(c-a)^3 $$ Assim obtemos a expressão acima. Esta nova forma da expressão algébrica originalmente proposta nos diz que se trata de uma soma de cubos de três termos $$ (a-b), \ \ (b-c) \ \ e \ \ (c-a) $$ cuja soma é $$ (a-b)+(b-c)+(c-a)=0 $$ Desse modo, o nosso problema original é a soma dos cubos de três números cuja soma é nula, o que nos permite concluir que a soma dos cubos desses três números é o triplo do produto deles, ou seja: $$ (a-b)^3+(b-c)^3-(a-c)^3=(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=3(a-b)(b-c)(c-a) $$ Esta última expressão algébrica é a forma fatorada que foi pedida pelo nosso exemplo.Deste último exemplo, em particular, pode-se imaginar infinitas variações, mas sempre tendo a mesma ideia fundamental: pede-se a fatoração da soma dos cubos de três números sabendo-se que a soma desses três números é nula.
Nos dois exercícios de fatoração abaixo, observe que a soma dos 3 termos é nula o que nos permite aplicar o que acabamos de ver anteriormente (tomem cuidado com o sinal !!!):
\begin{align} -i) \ \ & (2a-2b+3c)^3-(a-b+c)^3-(a-b+2c)^3= \hspace{100cm} \\ =\ \ & 3(2a-2b+3c)(a-b+c)(a-b+2c) \\ -ii) \ \ & (a-b+ \sqrt 3)^3-(3a-2b-\sqrt 2)^3+(2a-b-\sqrt 3-\sqrt 2)^3= \\ =\ \ & -3(a-b+\sqrt 3)(3a-2b-\sqrt 2)(2a-b-\sqrt 3-\sqrt 2) \end{align}E assim por diante.
Exemplo-3: (CN – 1996) O quociente da divisão de $$ (a-b+c)^3-a^3-b^3-c^3 $$ por $$ (a+b)[c^2+c(a+b)+ab] $$ é: $$ (A) \quad 1 \qquad (B) \quad 2 \qquad (C) \quad 3 \qquad (D) \quad 4 \qquad (E) \quad 5 $$Resolução:
Eis aqui um exemplo em que a fatoração estudada pode simplificar bastante a resolução mesmo quando $$ a+b+c≠0. $$Este é um exemplo de uma questão que pode cair em concursos de admissão.
No caso específico, é uma questão do Colégio Naval (CN) considerado por muitos como o mais difícil concurso de admissão em nível de ensino Fundamental II.
Pois bem, vejamos como podemos resolver este exercício aplicando o que sabemos.
Observe inicialmente que a fatoração que estamos estudando:
$$ a^3+b^3+c^3-3abc= \frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] $$ é equivalente à fatoração, isto é, pode ser reescrita como (bastando desenvolver a expressão entre colchetes): $$ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc]…(1) $$ As alternativas da questão (todas numéricas) sugerem que a expressão inicial dada $$ (a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 $$ é múltipla do fator $$ (a+b)[c^2+c(a+b)+ab]. $$Vale dizer, devemos ficar de olho no aparecimento deste fator.
Por outro lado, é evidente que:
Logo a divisão questionada pode ser assim escrita:
$$ \frac{((a-b+c)^3-a^3-b^3-c^3)}{[(a+b)][c^2+c(a+b)+ab]} \ = \frac{3[(a+b)][c^2+c(a+b)+ab]}{[(a+b)][c^2+c(a+b)+ab]} \ =3 $$Algumas dessas passagens poderiam ser perfeitamente suprimidas, mas foram acrescentadas apenas para efeito explicativo.
Queremos dizer que a resolução apresentada resume-se na verdade a 3 ou 4 passagens, isto é, seria bem rápida numa prova.
É muito importante observar que antes que você se preocupe com o fato de que talvez precisasse de todas as passagens e não apenas das 3 ou 4 passagens, fique tranquilo porque com a prática contínua certamente conseguirá um rendimento até melhor!
Então a dica é essa: se for necessário fatorar a soma e/ou diferença do cubo de três termos algébricas verifique se a soma desses três temos (desconsidere o expoente) é nula, porque é um procedimento rápido e possibilita resolver o problema num piscar de olho.
E mesmo se não for nula pode ser que a forma estudada ainda pode ser útil (vide exemplo-3).
Ainda veremos mais aplicações da fatoração em artigos futuros.
No final deste texto acrescentamos alguns links que tratam especificamente desta fatoração.
Tenha sempre em mente o tripé que vale ouro: foco, dedicação e trabalho.
Abaixo mais alguns exercícios relacionados à fatoração estudada neste texto com os links das respectivas resoluções.
-1) \( 18^3-3.18.17-17^3 \) $$ $$ -2) \( 11^3+4^3-15^3 \)Resoluções
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