Conjuntos – Parte 1

(Reprodução parcial do livro Matemática em Detalhes. Proibida a reprodução total ou parcial)

Definição

Conjunto é uma reunião ou coleção de objetos quaisquer.

Esta é a ideia primitiva de conjuntos que traz consigo também a noção de que toda propriedade determina um conjunto.

Modernamente, e de forma mais aprofundada, teríamos que rever esta noção de conjunto e de sua determinação por uma propriedade, adentrando inescapavelmente na Teoria dos Conjuntos de Cantor (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, matemático alemão, considerado o pai da Teoria dos Conjuntos) e tendo no meio do caminho de enfrentar diversos paradoxos como o de Russell/Zermelo.

Evidentemente não é objetivo deste livro estudar a Teoria dos Conjuntos, que demandaria, sozinho, meses e talvez anos para seu estudo completo o que seria interessante somente para aqueles que escolherem a matemática como área de formação e de interesse acadêmico no futuro.

Nosso foco é o de introduzir a ideia de conjunto em nível do estudante do ensino médio, de modo que para aquilo que precisaremos para enfrentar as questões de concursos em nível de colegial a definição enunciada no primeiro parágrafo será suficiente para continuarmos nossos estudos sobre os Conjuntos, ainda que com ressalvas que ressaltamos uma vez mais, não prejudicará o entendimento da matéria para aquilo que objetivamos.

Resumindo, em nosso estudo, conjunto é uma reunião ou coleção de objetos.

Representação de Conjunto e Relação de Pertinência

Os objetos de um conjunto são também conhecidos como membros ou elementos, sendo este último o termo mais comumente utilizado na nossa literatura.

Dizemos que um objeto de um conjunto é um elemento que pertence a este conjunto.

Em linguagem matemática utilizamos o símbolo “\( \in \)” para “pertence”.
Desse modo, dado um conjunto \(A\) que tem \(x\) como um de seus elementos (ou membro), representaremos esta relação de pertinência como: $$ x \in A $$ De modo contrário se um conjunto \(A\) não tem \(x\) como um de seus elementos (ou membro), representaremos esta relação como: $$ x \notin A $$ Então, se o conjunto \( A=\{0,1,6,7\} \), podemos tirar algumas conclusões importantes.
A primeira delas é quanta à notação de um conjunto.
Observe que o conjunto é representado por 2 chaves, uma de abertura “{“ e outra de fechamento “}”.

Outro fato interessante é que tudo que está entre os parênteses sãos os elementos (ou membros) deste conjunto, e são separados entre si por vírgulas (como é o caso deste exemplo) ou por ponto e vírgula (\(;\)).

Desse modo, os elementos do conjunto \(A\) são \(0,1,6\) e \(7\).
Qualquer outro objeto, não é um elemento deste conjunto.
Utilizando os símbolos apresentados anteriormente (\(∈\) e \(∉\)) podemos afirmar que:
► \(0∈A\), ou \(0\) pertence ao conjunto \(A\), ou ainda, que \(0\) é um elemento do conjunto \(A\).
De forma mais resumida dizemos ainda que:
► \(0\) pertence a \(A\), ou ainda, que \(0\) é um elemento de \(A\).
Evidentemente, o mesmo vale para os demais elementos de A:
► \(1∈A\), ou \(1\) pertence a \(A\), ou ainda, que \(1\) é um elemento de \(A\).
► \(6∈A\), ou \(6\) pertence a \(A\), ou ainda, que \(6\) é um elemento de \(A\).
► \(7∈A\), ou \(7\) pertence a \(A\), ou ainda, que \(7\) é um elemento de \(A\).
Por outro lado, podemos escrever para todos os objetos que não são elementos do conjunto \(A\) que, por exemplo:
► \(2∉A\), ou \(2\) não pertence a \(A\), ou ainda, que \(2\) não é um elemento de \(A\).
► \(x∉A\), ou \(x\) não pertence a \(A\), ou ainda, que \(x\) não é um elemento de \(A\).
► \(maçã ∉ A\), ou maçã não pertence a \(A\), ou ainda, que maçã não é um elemento de \(A\).
Vejamos o exemplo a seguir para ajudar a fixar esses conceitos iniciais.

\(Exemplo-1:\) Dado o conjunto \(A= \{ 0,2,4,6,8 \} \) assinale (\(V\)) ou (\(F\)) para as afirmações abaixo respectivamente verdadeiras ou falsas.
(a) \( \ \ b∈A \);
(b) \( \ \ b∉A \);
(c) \( \ \ 7∈A \);
(d) \( \ \ 0∈A \);

\(Resolução:\)
Primeiramente, lembremos que o conjunto é representado por duas chaves: a de “abertura”, representada pelo símbolo “{“, que indica o início da descrição do conjunto; e a de fechamento, representado pelo símbolo “}” que indica o final da descrição do conjunto.
Assim, se \(A=\{ 0,2,4,6,8 \} \) então podemos concluir que os elementos deste conjunto são \(0,2,4,6\) e \(8\).
Isto quer dizer que \(0,2,4,6\) e \(8\) pertencem ao conjunto \(A\), o que indicamos pelo símbolo \( \in \). Assim podemos dizer que:
\(0∈A\),
\(2∈A\),
\(4∈A\),
\(6∈A\),
\(8∈A\),
Qualquer outro objeto (seja número ou não) que não seja \(0,2,4,6\) e \(8\), não pertencerá ao conjunto \(A\), situação esta que indicaremos pelo símbolo ∉.
Desse modo as afirmações verdadeiras são \((b)\) e \((d)\).
Observe que a afirmação a afirmação \( (a) \ \ b∈A \) é incorreta, uma vez que \(b\) não é um elemento de \(A\), já que os únicos elementos de \(A\) são \(0,2,4,6\) e \(8\).
Pelo mesmo motivo \( (c) \ \ 7∈A \) também não está correta, já que \(7\) não está dentre os elementos do conjunto \(A\) do nosso problema.
Por outro lado, evidentemente \(b\) não é elemento de \(A\), ou seja, \(b∉A\), o que faz com que a afirmação \( (b) \) esteja correta.
Também está correta a alternativa \( (d) \) já que \(0\) é um elemento de \(A\), ou seja, \(0∈A\).

\(Exemplo-2:\) Dado o conjunto \(A= \{2,\{1\},\{2\} \} \) assinale (\(V\)) ou (\(F\)) para as afirmações abaixo respectivamente verdadeiras ou falsas.
(a) \( \ \ 2∈A \);
(b) \( \ \ \{1\}∉A \);
(c) \( \ \ 1∈A \);
(d) \( \ \ \{2\}∈A \);

\(Resolução:\)
Novamente relembremos a representação de um conjunto: a chave de “abertura”, representada pelo símbolo “{“, indica o início da descrição do conjunto e a de fechamento, representado pelo símbolo “}” indica o final da descrição do conjunto.
Assim, se \(A= \{2,\{1\},\{2\} \} \)) então podemos concluir que os elementos deste conjunto são \(2,\{ 1 \} \) e \( \{ 2 \} \) que são todos os objetos “dentro” do conjunto.
Isto quer dizer que \(2,\{ 1 \} \) e \( \{ 2 \} \) pertencem ao conjunto \(A\), o que indicamos pelo símbolo ∈. Assim podemos dizer que:
\( 2∈A \),
\( \{ 1 \}∈A \),
\( \{ 2 \}∈A \),
Qualquer outro objeto (seja número ou não) que não seja \(2,\{ 1 \} \) ou \( \{ 2 \} \), não pertencerá ao conjunto \(A\), situação esta que indicaremos pelo símbolo ∉.
Assim sendo as afirmações \( (a) \) e \( (d) \) estão corretas uma vez que tanto \(2\), como \( \{ 2 \} \) são elementos do conjunto \(A\).
Por outro lado, as afirmações \( (b) \) e \( (c) \) estão incorretas porque respectivamente, \( \{ 1 \} ∈ A \) e \( 1 ∉ A \).

No próximo artigo continuaremos este assunto.

Seguem alguns exercícios para fixação deste conteúdo teórico.

É muito importante que faça (ou pelo menos tente fazer) todos os exercícios antes de passar para a próxima aula.

E lembrem-se sempre: foco, dedicação e trabalho!

Exercícios

Dados os conjuntos

\( A= \{ 1,2,3,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,2,3\} \} \)
\( B= \{1,2,\{1,2,3\}\} \)
\( C=\{∅,\{∅\}\} \)
\( D=\{\{\{1\}\},\{2\},\{1,2,3\}\} \)
\( E=\{∅,\{∅,\{∅\}\}\} \)

Assinale (\(V\)) ou (\(F\)) respectivamente para as afirmações VERDADEIRA ou FALSA.
\( 1.( \ \ ) \ \ \{1\}∈D \)
\( 2.( \ \ ) \ \ \{1,2\}∈B \)
\( 3.( \ \ ) \ \ ∅∈B \)
\( 4.( \ \ ) \ \ ∅∈C \)
\( 5.( \ \ ) \ \ \{1,2,3\}∈A \)
\( 6.( \ \ ) \ \ \{\{1,2,3\}\}∈B \)
\( 7.( \ \ ) \ \ \{\{1\}\}∈B \)
\( 8.( \ \ ) \ \ \{∅\}∈C \)
\( 9.( \ \ ) \ \ \{1,2\}∈B \)
\( 10.( \ \ ) \ \ 1∈B \)
\( 11.( \ \ ) \ \ 2∈B \)
\( 12.( \ \ ) \ \ \{1,3\}∈A \)
\( 13.( \ \ ) \ \ \{2\}∉B \)
\( 14.( \ \ ) \ \ \{1,2,3\}∈D \)
\( 15.( \ \ ) \ \ \{1,2,\{1,2,3\}\}∈B \)
\( 16.( \ \ ) \ \ \{\{\{1\}\},\{2\},\{1,2,3\}\}∈D \)
\( 17.( \ \ ) \ \ B\) e \(D \) possuem os mesmos elementos
\( 18.( \ \ ) \ \ \{∅,\{∅\}\}∉C \)
\( 19.( \ \ ) \ \ C∈E \ \ \)(leia-se: conjunto C pertence ao conjunto E)