Conjunto – Parte 2
(Reprodução parcial do livro Matemática em Detalhes. Proibida a reprodução total ou parcial)
Na parte-1, introduzimos o conceito de conjunto e apresentamos as relações de pertinência (clique AQUI para saber mais).
Nesta parte-2 de Conjuntos introduziremos as definições de igualdade de dois conjuntos e de conjuntos vazio e unitário, assim como apresentaremos as relações de inclusão que são utilizadas entre dois conjuntos.
Igualdade de dois Conjuntos
Dois conjuntos \(A\) e \(B\) são iguais se todos os elementos de \(A\) pertencerem a \(B\) e também todos os elementos de \(B\) pertencerem a \(A\). $$ A=B⟺∀x(x∈A⟺x∈B) $$ Na parte 3, falaremos um pouco mais das notações matemáticas.A definição para a igualdade de dois conjuntos dada acima é também conhecida como o Axioma da Extensão pela Teoria dos Conjuntos.
Contudo, não utilizaremos esta última denominação (Axioma da Extensão) por se tratar de assunto (Teoria dos Conjuntos) fora dos objetivos deste livro, podendo causar alguma confusão quanto à abordagem adotada por este livro.
Fizemos referência apenas a título de informação, mas daqui em diante faremos referência a este axioma apenas como uma definição de igualdade de dois conjuntos.
\(Exemplo-3:\) Dado os conjuntos
\(A= \{2,\{2\}\}\),
\(B= \{1,\{2\}\}\) e
\(C=\{\{2\},2\}\)
assinale (\(V\)) ou (\(F\)) para as afirmações abaixo:
\( (a) \ \ ( \quad ) \ \ A=B \);
\( (b) \ \ ( \quad ) \ \ A=C \);
\( (c) \ \ ( \quad ) \ \ B=C \);
\(Resolução:\)
Observe que apenas os conjuntos \(A\) e \(C\) possuem exatamente os mesmos elementos que no caso são \(2\) e \(\{2\}\).
É de se notar também que, neste exemplo, os elementos do conjunto \(C\) estão escritos em ordem diferente daquela do conjunto \(A\), o que é indiferente para fins de determinar se estes dois conjuntos são iguais, já que não se tratam de pares ordenados (neste caso, se fossem pares ordenados, a ordem importaria).
Logo \(A\)=\(C\).
Observe ainda que apenas \(\{2\}\) é comum aos três conjuntos.
Vale dizer, o conjunto \(B\) além de \(\{2\}\) também tem como elemento o número 1, o qual não é elemento nem de \(A\) nem de \(C\).
Logo \(B\) não é igual nem a \(A\) nem a \(C\).
Conjuntos Vazio e Unitário
Existem dois conjuntos notáveis pela singularidade em relação ao número de elementos que contém (ou não contém).O primeiro que iremos apresentar é o conjunto unitário.
Como o próprio nome sugere, este conjunto possui um único elemento.
Desse modo, \( \{1\} \),\( \ \ \{\{0\}\} \),\( \ \ \{x\} \),\( \ \ \{\{\{y\}\}\} \),\( \ \ \{e\} \) e \( \{π\} \), por exemplo, são todos conjuntos de um elemento apenas e, portanto, são todos eles chamados de UNITÁRIO.
– O segundo, e não menos importante conjunto que apresentaremos, é o VAZIO.
– Como o nome sugere, é o conjunto que não possui elemento algum.
Este conjunto pode ser representado por \( \{ \} \) ou \(∅\), que são os símbolos mais comumente utilizados para representá-lo.
Devemos alertá-lo, porém, que a notação {∅} não representa o conjunto vazio.
Em verdade essa notação, \( \{∅\} \), representa um conjunto com um único elemento que é o conjunto vazio, ou seja, é um conjunto unitário.
O exemplo a seguir ajudará a fixar o conceito desses dois conjuntos.
\(Exemplo-3:\) Dado o conjunto \(A= \{\{\{2\}\}\} \) assinale (\(V\)) ou (\(F\)) para as afirmações abaixo respectivamente verdadeiras ou falsas.
\( (a) \ \ ( \quad ) \ \ 2∈A \);
\( (b) \ \ ( \quad ) \ \ \{\{2\}\}∉A \);
\( (c) \ \ ( \quad ) \ \ \{2\}∈A \);
\( (d) \ \ ( \quad ) \ \ \{\{2\}\}∈∅ \);
\( (e) \ \ ( \quad ) \ \ \{∅\} \) é um conjunto unitário;
\( (f) \ \ ( \quad ) \ \ ∅∈\{∅\}. \);
\(Resolução:\)
Novamente relembremos a representação de um conjunto: a chave de “abertura”, representada pelo símbolo “{“, indica o início da descrição do conjunto e a de fechamento, representado pelo símbolo “}” indica o final da descrição do conjunto.
Então, se \(A= \{\{\{2\}\}\} \), podemos concluir que o conjunto A tem um único elemento que é \( \{\{2\}\} \).
E se \(A\) tem um único elemento ele é UNITÁRIO.
Assim sendo podemos dizer que \( \{\{2\}\} \) pertence ao conjunto \(A\).
Em notação matemática podemos escrever \( \{\{2\}\}∈A \).
Qualquer outro objeto, seja número(s), conjunto de número(s), etc, que não seja \( \{\{2\}\} \), não pertencerá (\(∉\)) ao conjunto \(A\).
Logo as três primeiras afirmações são falsas.
Quanto à antepenúltima afirmação \( (d) \) também é falsa já que o conjunto vazio não possui nenhum elemento de modo que \( \{\{2\}\}∉∅ \).
Observe que não apenas \( \{\{2\}\} \) não pertence ao conjunto vazio (\(∅\)), assim como nenhum elemento que imaginássemos pertenceria ao conjunto vazio.
As duas últimas afirmações são evidentemente verdadeiras já que, conforme comentamos anteriormente, \( \{∅\} \) é um conjunto que tem um único elemento que é o conjunto vazio, ou seja, \( \{∅\} \) é um conjunto unitário e, portanto, \( ∅∈ \{∅\} \).
Relação de Inclusão – Contém (⊂) e Não Contém (⊄)
Vamos introduzir agora a relação de inclusão que é estabelecida entre dois conjuntos.Sejam os conjuntos \(A= \{0,2,4,5,8\} \) e \( B= \{2,5,8\} \).
Antes de prosseguirmos vamos fazer um parêntese.
As relações que estudaremos são afirmações que se estabelecem apenas e somente apenas entre dois conjuntos (nem mais nem menos), assim como as operações fundamentais de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação.
Por mais que expressões do tipo \( \ \ 2+3.(5-7^2) \ \ \) possam parecer a princípio que contradizem o que acabamos de afirmar, um exame mais detalhado na verdade apenas reforçará o que foi colocado no parágrafo anterior.
Se olharmos para a operação de adição perceberemos imediatamente que a única forma de levarmos adiante esta operação é conhecermos os dois números que deveremos adicionar (“operar”).
No caso um deles é o \(2\) e o outro, pelas “regras” de prioridades das operações somente será conhecido após calcularmos \(\ \ 3.(5-7^2)\ \ \).
Esta última expressão operação de multiplicação também nos leva ao mesmo questionamento que fizemos inicialmente para a operação de adição: devemos multiplicar “quais dois números” (nem mais nem menos).
Neste exemplo, um deles é o \(3\) e o outro ainda não conhecemos porque, pelas regras de prioridades das operações, este número sairá do resultado entre parênteses \(\ \ (5-7^2)\ \ \).
Chegando aos parênteses temos a operação de subtração que assim como as operações de adição e multiplicação que vieram antes, exige que saibamos quais são os \(2\) números (nem mais nem menos) que devemos subtrair.
No caso, um dele é o \(5\) e o outro ainda não conhecemos porque, pelas regras de prioridades das operações, este número sairá do resultado da potenciação \(7^2 \).
Neste último caso, finalmente conhecemos os 2 números (nem mais nem menos) com que devemos operar: a base é o 7 e o expoente é o 2.
Trouxemos este exemplo para este nosso estudo para traçar um paralelo com o que teremos pela frente.
No exemplo acima vimos que embora a expressão numérica traga várias operações e vários números, somente podemos efetuar cada uma das operações que aparecem, seja adição, seja subtração, multiplicação ou potenciação, se conhecermos os 2 números com os quais a operação será feita.
Não podemos perder isso de vista em nenhum momento de nossos estudos de conjunto, já que as relações que veremos são estabelecidas entre dois conjuntos, ou entre um elemento e um conjunto, nem mais nem menos.
Queremos dizer que por mais que nos deparemos com expressões do tipo \(A⊂(B∪C) \) só poderemos avaliá-la se analisarmos as relações entre um par de objeto (conjunto e/ou elemento).
Não tem como concluir coisa alguma sem necessariamente analisarmos cada uma das relações que aparecem as quais por sua vez necessariamente são estabelecidas para um par (e apenas um par) de objetos.
Vale dizer, não tem significado algum, expressões do tipo “\(A∪BC\)”, ou então “\(A∪ \)” sendo \(A\), \(B\) e \(C\), \(3\) conjuntos, uma vez que o operador \(∪\) só estabelece uma relação entre um par de conjuntos, nem mais nem menos.
Voltando aos nossos conjuntos \(A= \{0,2,4,5,8\} \) e \(B= \{2,5,8\} \), podemos ver que:
\(-a) \) os elementos do conjunto \(A\) são \(0,2,4,5\) e \(8\)
\(-b) \) os elementos do conjunto \(B\) são \(2,5\) e \(8\)
Vamos estudarmos inicialmente apenas os conjuntos \(A\) e \(B\).
Observe que todos os elementos de \(B\), que são \(2,5\) e \(8\), também são elementos de \(A\).
\(B⊂A \ \ \) (\(B\) está contido em \(A\))
Vale dizer, nem todos os elementos de \(A\) pertencem também ao conjunto \(B\).
Quando isso acontece dizemos que o conjunto \(A\) não está contido no conjunto \(B\) e utilizamos o símbolo “⊄” para representar matematicamente esta afirmação, de modo que escreveremos assim: $$ A⊄B $$ (\(A\) não está contido em \(B\))
Para finalizar, ressaltamos que neste exemplo havia dois elementos (no caso os números \(0\) e \(4\)) que não pertenciam ao conjunto \(B\), mas na verdade bastaria haver um único elemento de \(A\) que não fosse elemento de \(B\) para podermos afirmar que \(A⊄B\) (\(A\) não está contido em \(B\)).
Vejamos o exemplo a seguir para ajudar a fixar mais essa relação de inclusão.
\(Exemplo-4:\) Dado os conjuntos
\(A= \{a,x,\{2\}\} \),
\(B= \{2\} \),
\(C= \{x,\{2\}\} \) e
\(D= \{\{1\},2,\{2\},x\} \)
assinale (\(V\)) ou (\(F\)) para as afirmações abaixo respectivamente verdadeiras ou falsas.
\( (a) \ \ ( \quad ) \ \ B⊂A \);
\( (b) \ \ ( \quad ) \ \ a∉C \);
\( (c) \ \ ( \quad ) \ \ B⊄C \);
\( (d) \ \ ( \quad ) \ \ C⊂D \);
\( (e) \ \ ( \quad ) \ \ \{2\}⊂B \);
\( (f) \ \ ( \quad ) \ \ \{\{2\}\}⊄C \);
\( (g) \ \ ( \quad ) \ \ A⊂D \);
\( (h) \ \ ( \quad ) \ \ 2∈C \);
\( (i) \ \ ( \quad ) \ \ 2⊄C \);
\(Resolução:\)
Vamos novamente recordar que o conjunto é representado por duas chaves: a de “abertura”, representada pelo símbolo “{“, que indica o início da descrição do conjunto; e a de fechamento, representado pelo símbolo “}” que indica o final da descrição do conjunto.
Desse modo, os elementos dos conjuntos são:
– do conjunto \(A\): \(a,x,\{2\} \) ;
– do conjunto \(B\): \(2\);
– do conjunto \(C\): \( x,\{2\} \);
– do conjunto \(D\): \( \{1\},2,\{2\},x \).
Lembremos ainda que a relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão estabelece a relação entre dois conjuntos.
Observe que das afirmações do exercício, apenas as dos itens (\(b\)) e (\(h\)) dizem respeito a uma relação de pertinência.
Para responder o item (\(b\)), basta verificarmos se \(a\) é um elemento de \(C\) o que não ocorre já que conforme vimos no início da resolução deste exercício, os únicos elementos de \(C\) são \(x\) e \(\{2\}\).
Logo, \(a∉C\) e, portanto, é verdadeira a afirmação.
De modo análogo, também podemos concluir que \(2\) não é um elemento do conjunto \(C\), ou seja, \(2∉C\) e, portanto, é falsa a afirmação.
Cabe uma ressalva aqui: não confundir o conjunto \(\{2\}\) com o \(2\). No nosso exemplo, os únicos elementos de \(C\) são \(x\) e \(\{2\}\), ou seja, \(\{2\}∈C\) e, obviamente, também \(x∈C\), mas \(2∉C\).
Lembremos ainda que a relação de pertinência relaciona um elemento a um conjunto e a relação de inclusão estabelece a relação entre dois conjuntos.
Observe que das afirmações do exercício, apenas as dos itens (\(b\)) e (\(h\)) dizem respeito a uma relação de pertinência.
Para responder o item (\(b\)), basta verificarmos se a é um elemento de \(C\) o que não ocorre já que conforme vimos no início da resolução deste exercício, os únicos elementos de \(C\) são \(x\) e \(\{2\}\). Logo, \(a∉C\) e, portanto, é verdadeira a afirmação.
De modo análogo, também podemos concluir que \(2\) não é um elemento do conjunto \(C\), ou seja, \(2∉C\) e, portanto, é falsa a afirmação.
Cabe uma ressalva aqui: não confundir o conjunto \(\{2\}\) com o \(2\). No nosso exemplo, os únicos elementos de \(C\) são \(x\) e \(\{2\}\), ou seja, \(\{2\}∈C\) e, obviamente, também \(x∈C\), mas \(2∉C\).
As demais afirmações deste exercício dizem respeito à relação de inclusão, ou seja, da relação entre dois conjuntos.
Conforme vimos, um conjunto \(X\) está contido no conjunto \(Y\) se todos os elementos do conjunto \(X\) também são elementos do conjunto \(Y\).
Uma forma equivalente de se dizer isso é um conjunto \(X\) está contido no conjunto \(Y\) se todos os elementos pertencentes ao conjunto \(X\) também pertencem ao conjunto \(Y\).
E ainda, matematicamente, escrevemos como: $$ X⊂Y⟺(x∈X⇒x∈Y)
$$ Não se preocupe com a notação acima porque abordaremos em detalhes mais adiante.
Voltando ao nosso exercício, vemos que o conjunto tem apenas um único elemento que é o \(2\) e este elemento não pertence ao conjunto A (vimos acima que os elementos de A são \(a\), \(x\) e \(\{2\}\).
Assim sendo, o conjunto B não está contido no conjunto \(A\) (utilizando símbolos matemáticos: \(B⊄A\)).
A afirmativa (\(a\)) está incorreta, portanto.
Ainda em relação ao conjunto \(B\), seu único elemento (\(2\)) também não pertence ao conjunto \(C\), logo B⊄C. Logo a afirmação (\(c\)) é verdadeira.
Em relação ao conjunto \(C\), seus elementos são \(x\) e \(\{2\}\) e ambos pertencem aos conjuntos \(A\) e \(D\). Logo \(C⊂D\) e também C⊂A (esta afirmação não está no exercício). Logo a alternativa (\(c\)) está correta.
Na alternativa (\(e\)) pergunta-se se o conjunto \(\{2\}\) está contido no conjunto \(B\).
Ora, o conjunto \(\{2\}\) é formado pelo elemento \(2\) o qual também é elemento do conjunto \(B\), então evidentemente o conjunto \(\{2\}\) está contido no conjunto \(B\), estando correta, portanto, a alternativa (\(e\)).
Cabe aqui uma observação: o conjunto \(\{2\}\) é evidentemente igual ao conjunto \(B\).
Quando isso ocorre, isto é, quando dois conjuntos são iguais, então, podemos afirmar que um está contido em outro, ou ainda, que um conjunto está contido nele mesmo.
No item (f) pergunta-se se o conjunto \(\{\{2\}\} \) está contido no conjunto \(C\).
Novamente, para responder a esta pergunta temos que descobrir qual(is) é(são) o(s) elemento(s) dos conjuntos \(\{\{2\}\} \) e \(C\).
Do conjunto \(C\) já vimos que seus elementos são \(x\) e \(\{2\}\).
Do conjunto {{2}} concluímos que seu único elemento é \(\{2\}\) o qual também é elemento do conjunto \(C\). Logo \(\{\{2\}\}⊂C \), estando a afirmativa (\(f)\) incorreta, portanto.
Para responder a afirmação (\(g\)) temos que lembrar que os elementos dos conjuntos \(C\) e \(V\) são:
– do conjunto \(A\): \(a\), \(x\), \(\{2\}\) e
– do conjunto \(D\): \(\{1\}\),\(2\),\(\{2\}\),\(x\)
Observe que os elementos \(x\) e \(\{2\}\) do conjunto \(A\) também são elementos do conjunto \(D\), mas \(a\) não é elemento do conjunto \(D\). Simbolicamente, podemos escrever que: $$ a∉D $$ $$ x∈D $$ $$ \{2\}∈D $$ Por causa da existência de um elemento do conjunto \(A\) que não pertence ao conjunto \(D\) concluímos que \(A⊄D\).
A afirmativa, portanto, está incorreta.
Apenas para reforçar uma vez mais: para que um conjunto \(A\) esteja contido no conjunto \(B\), TODOS os elementos pertencentes ao conjunto \(A\) também devem pertencer ao conjunto \(B\).
Finalmente, quanto à última afirmação (\(i)\) que nos diz que \(2⊄C\), temos um exemplo típico de mal uso das relações de inclusão de dois conjuntos, já que o símbolo “2” representa um número (ou um algarismo), mas não um conjunto.
Lembrando que as relações de inclusão (\(⊂\) e \(⊄\)) diz respeito a dois conjuntos, concluímos que a afirmação \(2⊄C\), (assim como \(2⊂C\)) não tem significado, de modo que a veracidade da afirmação fica prejudicada, pois sequer tem sentido.
No próximo artigo continuaremos este assunto.
Seguem alguns exercícios para fixação deste conteúdo teórico.
É muito importante que faça (ou pelo menos tente fazer) todos os exercícios antes de passar para a próxima aula.
E lembrem-se sempre: foco, dedicação e trabalho!
EXERCICIOS
Dados os conjuntos\(A=\{1,2,3,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}\)
\(B=\{1,2,\{1,2,3\}\}\)
\(C=\{∅,\{∅\}\}\)
\(D=\{\{\{1\}\},\{2\},\{1,2,3\}\}\)
\(E=\{∅,\{∅,\{∅\}\}\}\)
Assinale (\(V\)) ou (\(F\)) respectivamente para as afirmações VERDADEIRA ou FALSA.
\( 1. \ \ ( \quad ) \ \ \{1\}⊂D\)
\( 2. \ \ ( \quad ) \ \ {1,2}⊂B\)
\( 3. \ \ ( \quad ) \ \ ∅⊄B\)
\( 4. \ \ ( \quad ) \ \ ∅⊂C\)
\( 5. \ \ ( \quad ) \ \ \{1,2,3\}⊄A\)
\( 6. \ \ ( \quad ) \ \ \{\{1,2,3\}\}⊂B\)
\( 7. \ \ ( \quad ) \ \ \{\{1\}\}⊄B\)
\( 8. \ \ ( \quad ) \ \ \{∅\}⊂C\)
\( 9. \ \ ( \quad ) \ \ \{1,2,3\}⊂B\)
\( 10. \ \ ( \quad ) \ \ B⊂A\)
\( 11. \ \ ( \quad ) \ \ ∅⊂E\)
\( 12. \ \ ( \quad ) \ \ \{1,3\}∈A\)
\( 13. \ \ ( \quad ) \ \ E∉B\)
\( 14. \ \ ( \quad ) \ \ \{1,2,3\}⊂D\)
\( 15. \ \ ( \quad ) \ \ \{1,2,\{1,2,3\}\}⊂B\)
\( 16. \ \ ( \quad ) \ \ \{\{1\}\},\{2\},\{1,2,3\}\}∈D\)
\( 17. \ \ ( \quad ) \ \ C⊂E\)
\( 18. \ \ ( \quad ) \ \ \{∅,\{∅\}\}⊂C\)
\( 19. \ \ ( \quad ) \ \ \{∅,\{∅\}\}⊂E\)
\( 20. \ \ ( \quad ) \ \ C⊂E\)
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