Ângulo entre os ponteiros de um relógio – parte 1

(Reprodução de parte do livro Matemática em Detalhes. Proibida a reprodução total ou parcial)

Introdução

Neste artigo vamos aprender como calcular o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos de um relógio.

Nesta parte 1 deste assunto, para simplificar nossa exposição não iremos dar atenção ao ponteiro dos segundos, isto é, trataremos apenas daqueles casos em que os horários são tais que o ponteiro dos segundos estará exatamente sobre o numero 12 do relógio.

Na parte 2 também trataremos do cálculo do ângulo entre os ponteiros dos quais um deles é o do segundos.

Voltando ao nosso problema, primeiramente devemos definir com qual o relógio iremos trabalhar.

O relógio que nos interessa é aquele analógico típico, no qual os números se distribuem sobre uma mesma circunferência.

A figura [01] a seguir mostra um relógio do qual estamos falando.

Relógio Ideal

Outra coisa importante a ser esclarecida é que o nosso relógio é ideal.

O que queremos dizer com isso?

Quer dizer que vamos adotar 2 hipóteses importantes:

-1) os números estão uniformemente distribuídos, isto é, dividem o círculo exatamente em doze áreas iguais;

-2) os ponteiros, das horas, dos minutos e dos segundos, movimentam-se de modo perfeitamente continuo e sincronizado.

A primeira hipótese permite concluir que os números dividem o círculo, que forma o nosso relógio ideal, em 12 partes exatamente iguais, de modo que o ângulo entre quaisquer dois números consecutivos é igual a 30º, que é o resultado da divisão de 360º (uma volta completa sobre a circunferência) por 12.

Já a segunda hipótese nos garante que os ponteiros estão sempre em movimento (movimento contínuo) de forma a não haver “saltos” com o correr do tempo, além do que estão sempre sincronizados, isto é, o movimento de qualquer um deles está em perfeita correspondência com o dos outros dois, de modo que qualquer que seja o tempo transcorrido, microssegundos, nano segundos, etc, implicará em movimento dos três ponteiros (das horas, dos minutos e do segundos).

À primeira vista a tarefa de calcular o ângulo ente os ponteiros de um relógio ideal parece ser bem simples na medida que basta lembrar que os números que indicam as horas e também os minutos e os segundos, isto é, os números de 1 a 12, dividem o círculo, que dá forma ao nosso relógio ideal, em 12 partes iguais.

Assim, quando o relógio estiver marcando exatamente “02:00:00 (2 horas, zero minuto e zero segundo)” os ponteiros das horas e dos minutos (e também das horas e dos segundos) formarão um ângulo de 60° e às ” 03:00:00 (3 horas, zero minuto e zero segundo)” um ângulo de 90°, considerando as medidas dos menores ângulos respectivos, conforme mostrado na figura [03] abaixo e assim sucessivamente.

Observe que além dos ângulos de 60° e 90° há também os respectivos replementos (o quanto falta para 360°) que seriam respectivamente 300° e 270°.

Quando houver omissão, estaremos falando do menor destes ângulos.

Como se vê quando se trata de horas “cheias”, tais como 2h, 3h, 4h, 5h, e assim por diante, não há dificuldade alguma em calcular o ângulo entre os ponteiros.

Mas e às 3h:5min (três horas e cinco minutos) o ângulo entre os ponteiros das horas e dos minutos seria 60°?

Quem respondeu negativamente à pergunta provavelmente se lembrou da definição de nosso relógio ideal cujos ponteiros estão em constante movimento.

Se exatamente às 3h os ponteiros das horas e dos minutos estão respectivamente sobre os números 3 e 12, formando um ângulo de 90° conforme vimos anteriormente, evidentemente às 3h:5min ambos os ponteiros já não estão exatamente sobre o número 3 (no caso do ponteiro das horas) e obviamente nem sobre o número 12 (no caso do ponteiro dos minutos) uma vez que os ponteiros estão sempre em movimento e de forma contínua, por menor que seja o tempo transcorrido, conforme nossa definição de relógio ideal.

Neste caso sob análise, a posição do ponteiro dos minutos é exata e perfeitamente definida uma vez que o horário de interesse é 3h:5min, ou seja, o “5 minutos” exige que o ponteiro dos minutos esteja exatamente sobre o número 1.

Por outro lado, às 3h:5min o ponteiro das horas já não está exatamente sobre o número 3, uma vez que que passaram-se 5 minutos desde o horário às 3h, momento no qual o ponteiro das horas estava exatamente sobre o número 3.

Estes 5 minutos que se passaram das 3h até às 3h:5min, foram suficientes para que o ponteiro das horas se deslocasse de sua posição inicial sobre o número 3 (lembrem-se de que no nosso relógio ideal os ponteiros nunca param de se movimentar) para alguma posição entre os números 3 e 4 do relógio.

Se exatamente às 3h os ponteiros das horas e dos minutos estavam exatamente sobre os números 3 e 12 respectivamente, às 3h:5min, ou seja, 5 minutos depois, eles não poderiam estar nas mesmas posições uma vez eles estão sempre em movimento com o tempo.

Vamos denominar pela letra grega alfa o ângulo que o ponteiro das horas se deslocou nesses 5 minutos que transcorreram das 3h às 3h:5min, conforme indicado na figura [04].

Mas antes de continuarmos precisamos fazer um breve estudo do movimento do ponteiro das horas em função do tempo.

Movimento do ponteiro das HORAS em função do tempo

Para calcularmos o ângulo entre os ponteiros de um relógio devemos estudar previamente qual o deslocamento de cada um dos ponteiros no decorrer do tempo.

Nesta parte 1 estudaremos o movimento do ponteiro das horas, isto é, aquele que indica a hora e na parte 2, o movimento do ponteiro dos minutos.

Na figura [06] a seguir percebe-se que para o ponteiro das horas (em vermelho), que está inicialmente sobre o numero 3 exatamente às 3h, deslocar-se para o número 4 às 4h, o ponteiro dos minutos (em azul), inicialmente sobre o número 12 às 3h, deve dar uma volta completa sobre a circunferência e parar novamente sobre o número 12 às 4h, ou seja, o tempo transcorrido seria de 60 minutos (1 hora).

Observe que deste movimento do ponteiro das horas, para ir do número 3 para o 4, podemos tirar duas conclusões importantes:

-1) o ponteiro das horas deslocou-se de um ângulo de 30º ao ir da posição sobre o número 3 às 3h para a posição sobre o número 4 às 4h;

-2) este movimento do ponteiro das horas ocorre no período de 60 minutos (ou 1 hora).

É fácil notar que, embora as considerações acima tenha sido para o movimento do ponteiro das horas das 3h às 4h, as conclusões extraídas valem para qualquer deslocamento entre duas horas cheias.

Com efeito o deslocamento do ponteiro das horas das 5h às 9h seria de 120° em um intervalo de tempo de 4h (ou 240 minutos) o que é evidentemente equivalente a se deslocar 30º em 1h (60 minutos).

A figura [07] ilustra o movimento do ponteiro das horas neste intervalo de tempo.

Então podemos generalizar as conclusões acima de modo que podemos afirmar que:

-1) o ponteiro das horas percorre um ângulo de 30º ao se movimentar entre dois números imediatamente vizinhos do relógio;

-2) o deslocamento de 30° do ponteiro das horas ocorre no período de 60 minutos (ou 1 hora).

Ângulo entre os ponteiros às 3h 05min

Convém ressaltar uma vez mais que os ponteiros a que estamos nos referindo aqui neste artigo são os das horas e dos minutos.

Com o que vimos anteriormente já estamos em condições de calcular o ângulo que os ponteiros das horas e dos minutos formam às 3 horas e 5 minutos.

Para facilitar nossa explanação, reproduzimos abaixo novamente a figura [04].

Da figura [04] é evidente que o ângulo procurado é dado por:

$$ \alpha+60°$$

Onde

$$ \alpha = ângulo \ percorrido \ pelo \ ponteiro \ das \ HORAS \ das \ 3h \ às \ 3h \ 05 \ min$$

Lembrando que vimos anteriormente que o ponteiro das horas desloca-se de um ângulo de 30° a cada 1 hora (ou 60 minutos) podemos encontrar o ângulo alfa pela regra de três simples:

$$ \alpha \to \ 5 \ min$$ $$ 30° \to \ 60 \ min$$

O que nos leva a concluir que:

$$ \alpha \ = \ 2,5°\ =\ 2°30’$$

Logo o ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos às 3 horas e 5 minutos é:

$$ 60°\ +\alpha\ =\ 60°\ +\ 2,5°\ =\ 60°\ +\ 2°30’\ =\ 62°30’$$

Comentários Finais

Com o que aprendemos neste artigo é possível resolver diversos tipos de problemas, como por exemplo, encontrar os horários exatos, entre 4h e 5h, nos quais os ponteiros das horas e dos minutos formam um ângulo reto (90°).

Também é possível, utilizando raciocínio análogo ao empregado aqui, estudar o movimento do ponteiro dos segundos no decorrer do tempo.

Estudaremos isso, aliás, na parte 2 deste assunto!

Então, bons estudos e até a próxima aula!