Fatoração – Aplicações-2

(Reprodução de parte do livro Matemática em Detalhes. Proibida a reprodução total ou parcial)

Uma das formas de fatoração mais simples, e talvez a primeira, que estudamos é a do fator comum em evidência.

Simples, porém muito utilizado no manuseio de expressões algébricas.

Apenas para relembrar, esta fatoração pode ser resumida assim na sua forma mais simples:

$$ax+ay=a(x+y)$$

Observe que temos acima uma soma de dois produtos cujos fatores apresentam um valor comum que, neste exemplo, é representado pela letra a.

Observe também que a igualdade acima nada mais é do que a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Para quem deseje saber a respeito da fatoração há diversos artigos e vídeos neste site e também no YouTube (clique AQUI) que tratam em mais detalhes o tema .

O objetivo deste artigo é mostrar o emprego dessa forma de fatoração mediante sua aplicação em alguns exercícios.

Exercício-1: Calcule o valor da expressão a seguir sabendo-se que x=2022 e y=1010

$$\frac{2(y+1)x^2-14x(y+1)+12(y+1)}{x^3-7x^2+6x}$$

Resolução:

Evidentemente, substituir os valores de  x e y na expressão acima não é uma boa ideia, já que seria muito trabalhoso fazer as contas para x=2022 e y=1010.

Por outro lado, um exame mais cuidadoso da expressão algébrica dada permite-nos concluir que tanto no numerador, como no denominador há fatores comuns que podem ser colocados em evidência.

Com efeito, 2(y+1) é um fator comum presente no numerador e x é um fator comum que aparece no denominador.

Desse modo, podemos fatorar o numerador e o denominador da expressão algébrica dada, conforme mostramos a seguir.

$$\frac{2(y+1)x^2-14x(y+1)+12(y+1)}{x^3-7x^2+6x}=\frac{2(y+1)[x^2-7x+6]}{x(x^2-7x+6)}=\frac{2(y+1)}{x}$$

 Observe que com a fatoração inicial, apareceu um fator comum ao numerador e denominador, no caso

$$(x^2-7x+6)$$

que pode ser cancelado.

Assim a expressão originalmente dada é equivalente a

$$\frac{2(y+1)}{x}=\frac{2(1010+1)}{2022}=1$$

Temos aqui um exemplo típico no qual a fatoração pelo método do “fator comum” facilitou muito nosso cálculo.

Exercício-2: Obtenha todos os valores inteiros de x e y que satisfazem a equação:

$$xy+2x-y=5$$

Resolução:

A ideia neste tipo de problema é obter um produto que seja igual a um número conhecido.

Por exemplo, na equação xy=2 sabemos que os possíveis valores inteiros de x e y são necessariamente divisores de 2, de modo que podemos ter (x=1 e y=2), (x=-1 e y=-2), (x=2 e y=1) e finalmente (x=-2 e y=-1).

Observe que as possíveis soluções são na realidade todas as combinações possíveis dos produtos dos divisores de 2 que resultam no próprio 2.

No problema dado não temos esse produto.

Mas se colocarmos x em evidência para os dois primeiros termos teríamos:

$$x(y+2)-y=5$$

Essa última expressão no lado esquerdo da equação sugere que se houvesse o termo -2 no membro esquerda da equação teríamos o termo -(y+2) o qual seria comum no lado esquerdo da equação.

Com efeito,

$$x(y+2)-y-2=5-2⟺x(y+2)-(y+2)=3⟺(x-1)(y+2)=3\dots (\ast )$$

Agora sim: temos o produto de dois números (x-1) e (y+2) cujo produto é conhecido (3).

Assim os resultados possíveis são:

$$x-1=1ey+2=3\dots (1)$$ $$x-1=3ey+2=1\dots (2)$$ $$x-1=-1ey+2=-3\dots (3)$$ $$x-1=-3ey+2=-1\dots (4)$$

Ou seja, os inteiros possíveis são os pares (x,y) tais que:

$$x=2ey=1\dots (1)$$ $$x=4ey=-1\dots (1)$$ $$x=0ey=-5\dots (1)$$ $$x=-2ey=-3\dots (1)$$

A ideia principal aqui não é exatamente o resultado em si, mas como chegamos na equação (*), a qual foi obtida lançando-se mão da fatoração por termo comum em evidência.

Exercício-3: (Olimpíadas – ESPANHA 1995) Seja p um número primo. Encontre todos os pares de inteiros (x,y) tais que:  

$$p(x+y)=xy$$

Resolução:

Utilizaremos uma barra sobre o termo para indicar o fator comum.

$$p(x+y)=xy⟺px+py=xy⟺p\overline{x}-\overline{x}y+py=0⟺x(p-y)+py=0⟺$$ $$⟺x(p-y)+\overline{p}y-{\overline{p}}^2+p^2=0⟺x(p-y)-p(p-y)+p^2=0⟺(x-p)(y-p)=p^2$$ Observe que a partir deste ponto, o nosso problema assume um formato já conhecido por nós, qual seja, a de encontrar todos os divisores possíveis de um produto conhecido (p^2).

Uma vez que p é primo temos que os possíveis divisores de

$$p^2$$ são: $$\pm 1;\pm pe\pm p^2$$

Vale dizer, as combinações possíveis para o produto de dois inteiros são:

Logo os pares possíveis são:

O ponto a se destacar nessa solução é o da fatoração (termo comum em evidência) por meio da qual foi possível cair em um problema bem conhecido.

Para finalizar julgamos oportuno fazer um comentário: mesmo que tenha achado um pouco difícil continue se dedicando com foco, fazendo muitos exercícios que asseguro que irá colher os frutos.

Isso é tão certo quanto 1+1=2.

Até o próximo post!