Funções Exponenciais e Logaritmos– Aplicações

(Reprodução de parte do livro Matemática em Detalhes. Proibida reprodução total ou parcial)

Neste artigo veremos exemplos de aplicação de função exponencial.

Embora tenham caído em concursos do ITA são questões simples, mas muito úteis para avaliar o conhecimento da matéria.

Vamos às questões.

Exercício-1) (ITA-1973) O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função

$$ X(t)=Ce^{kt}, $$ onde \(X(t)\) é o número de bactérias no tempo \(t\geqslant 0\) ;  \(C \ \ e \ \ k\)  são constantes positivas (\(e\)  é a base do logaritmo neperiano). Verificando-se que o número inicial de bactérias \(X(0)\) duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas? $$$$ (A) 3 vezes o número inicial. $$$$ (B) 2,5 vezes o número inicial. $$ $$ (C) \(2 \sqrt{2}\) vezes o número inicial. $$ $$ (D) \( 2 \sqrt[3]{2} \) vezes o número inicial. $$ $$ (E) nenhuma das respostas anteriores. $$ $$

Resolução:

Observe inicialmente que a resposta procurada, a princípio, é pedida em função do número inicial de bactérias (vide as alternativas) que é dado por \(X(0)\) conforme inclusive já informado no enunciado. Evidentemente \(X(0)\) é o valor da função \(X(t)\) para \(t=0\), ou seja, $$ X(0)=C.e^{k.o}=C … (I) $$

Desse modo, o número inicial de bactérias é igual a \(C\).

Por outro lado, o enunciado informa que o número de bactérias duplica após 4 horas, ou seja,

$$ X(4)=2.X(0)=2C … (II) $$ Observe que na expressão acima utilizamos o resultado obtido em \((I)\).

Mas

$$ X(4)=Ce^{k.4}=Ce^{4k} … (III) $$ Logo de \((II)\) e \((III)\) podemos escrever que $$ Ce^{4k}=2C⇒e^{4k}=2⇒e^k= \sqrt[4]{2} … (IV) $$

Finalmente, podemos concluir que ao final de 6 horas teremos:

$$ X(6)=Ce^{k.6}=C(e^k)^6 … (V) $$ Substituindo o resultado de \((IV)\) em \((V)\) podemos escrever que $$ X(6)=Ce^{k.6}=C(e^k)^6=C( \sqrt[4]{2})^6=C( \sqrt{2})^3=C(2 \sqrt{2}) …(V) $$ Lembrando que \(X(0)=C\), ou seja, que a quantidade inicial de bactérias é igual a \(C\) (vide resultado \((I)\)), podemos concluir que a alternativa correta é a \(C\).

Esta questão aparentemente difícil, por ser do ITA e pelo seu enunciado longo, na verdade poderia ser resolvida por qualquer aluno com conhecimento básico de função e evidentemente de operações fundamentais.

Isso nos mostra que não devemos nos intimidar com o tamanho do enunciado e nem com a faculdade responsável pelo exame, uma vez que isso pode nos custar uma questão por pura falta de confiança.

Exercício-2) (ITA-2022) Se  

$$ x=9\log_{120}2+3\log_{120}3+2\log_{14400}125 $$

podemos afirmar que:

$$ (A)\ x=2 \ \ \ \ \ (B)\ x=3 \ \ \ \ \ (C)\ x=4 \ \ \ \ \ (D)\ x=5 \ \ \ \ \ (E)\ x=6 $$

Resolução:

Essa é uma questão de logaritmo do concurso mais recente (em relação à data que este artigo foi escrito) do ITA.

Antes de mais nada, observemos que

$$ 120=2^3.3.5 $$

e que

$$ 14400=120^2=(2^3.3.5)^2=2^6.3^2.5^2 $$

Vamos expressar a última parcela da soma em termos da base 120, o que nos permite escrever:

$$ x=9\log_{120}2+3\log_{120}3+2\log_{14400}125=9\log_{120}2+3\log_{120}3+2\frac{log_{120}125}{\log_{120}14400} \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow x=9\log_{120}2+3\log_{120}3+2\frac{log_{120}125}{2}=9\log_{120}2+3\log_{120}3+log_{120}125 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow x=log_{120}2^9+log_{120}3^3+log_{120}5^3=log_{120}(2^9.3^3.5^3)=log_{120}(2^3.3.5)^3 \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow x=log_{120}(120)^3=3 \Rightarrow x=3 $$

Nas passagens acima utilizamos as propriedades dos logaritmos que já foram abordados em vídeos aulas.

Caso tenham interesse clique AQUI para ver a parte 1 da aula ou AQUI para assistir à parte 2.

Algumas passagens foram suprimidas e supõem que o estudante já tenha alguma familiaridade com o assunto, mas na verdade aqueles que efetivamente dominam os assuntos envolvidos (fatoração, potenciação, decomposição de inteiros e propriedades dos logaritmos) poderiam ter resolvido a questão em uma única linha ou mesmo “de cabeça” o que no vestibular significa ganho de tempo precioso:

$$ x=9\log_{120}2+3\log_{120}3+2\log_{14400}125=log_{120}(2^3.3.5)^3=3 $$

O principal motivo deste último comentário não é desanimá-lo, mas muito pelo contrário, incentivá-lo a estudar e dedicar-se cada vez mais ao estudo da matemática.

Estude tudo que vier pela frente e domine-o de tal modo que todos os assuntos apresentados fiquem cada vez mais familiares.

Como já escrevemos aqui repetidas vezes, não se trata de inteligência, mas acima de tudo de dedicação, disciplina e muito trabalho.

Tenha humildade para reconhecer que não sabe ou não domina completamente uma matéria e a estude até que tudo seja tão familiar quanto fazer uma operação de adição ou multiplicação.

Creia no que estou escrevendo aqui e que venho repetindo em diversos artigos: dominar a matemática a ponto de você poder “encarar de igual para igual” uma prova do nível do vestibular do ITA é antes de tudo resultado de foco, dedicação e trabalho.